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数学基础知识蕴含着处理智能问题的基本思想与方法，也是理解复杂算法的必备要素。今天的种种人工智能技术归根到底都建立在数学模型之上，要了解人工智能，首先要掌握必备的数学基础知识，具体来说包括：

线性代数：如何将研究对象形式化?

概率论：如何描述统计规律?

数理统计：如何以小见大?

最优化理论： 如何找到最优解?

事实上，线性代数不仅仅是人工智能的基础，更是现代数学和以现代数学作为主要分析方法的众多学科的基础。从量子力学到图像处理都离不开向量和矩阵的使用。而在向量和矩阵背后，线性代数的核心意义在于提供了⼀种看待世界的抽象视角：万事万物都可以被抽象成某些特征的组合，并在由预置规则定义的框架之下以静态和动态的方式加以观察。

着重于抽象概念的解释而非具体的数学公式来看，线性代数要点如下：线性代数的本质在于将具体事物抽象为数学对象，并描述其静态和动态的特性;向量的实质是 n 维线性空间中的静止点;线性变换描述了向量或者作为参考系的坐标系的变化，可以用矩阵表示;矩阵的特征值和特征向量描述了变化的速度与方向。

总之，线性代数之于人工智能如同加法之于高等数学，是一个基础的工具集。

概率论：如何描述统计规律?

除了线性代数之外，概率论也是人工智能研究中必备的数学基础。随着连接主义学派的兴起，概率统计已经取代了数理逻辑，成为人工智能研究的主流工具。在数据爆炸式增长和计算力指数化增强的今天，概率论已经在机器学习中扮演了核心角色。

同线性代数一样，概率论也代表了一种看待世界的方式，其关注的焦点是无处不在的可能性。频率学派认为先验分布是固定的，模型参数要靠最大似然估计计算;贝叶斯学派认为先验分布是随机的，模型参数要靠后验概率最大化计算;正态分布是最重要的一种随机变量的分布。

数理统计：如何以小见大?

在人工智能的研究中，数理统计同样不可或缺。基础的统计理论有助于对机器学习的算法和数据挖掘的结果做出解释，只有做出合理的解读，数据的价值才能够体现。数理统计根据观察或实验得到的数据来研究随机现象，并对研究对象的客观规律做出合理的估计和判断。

虽然数理统计以概率论为理论基础，但两者之间存在方法上的本质区别。概率论作用的前提是随机变量的分布已知，根据已知的分布来分析随机变量的特征与规律;数理统计的研究对象则是未知分布的随机变量，研究方法是对随机变量进行独立重复的观察，根据得到的观察结果对原始分布做出推断。

用一句不严谨但直观的话讲：数理统计可以看成是逆向的概率论。 数理统计的任务是根据可观察的样本反过来推断总体的性质;推断的工具是统计量，统计量是样本的函数，是个随机变量;参数估计通过随机抽取的样本来估计总体分布的未知参数，包括点估计和区间估计;假设检验通过随机抽取的样本来接受或拒绝关于总体的某个判断，常用于估计机器学习模型的泛化错误率。

最优化理论： 如何找到最优解?

本质上讲，人工智能的目标就是最优化：在复杂环境与多体交互中做出最优决策。几乎所有的人工智能问题最后都会归结为一个优化问题的求解，因而最优化理论同样是人工智能必备的基础知识。最优化理论研究的问题是判定给定目标函数的最大值(最小值)是否存在，并找到令目标函数取到最大值 (最小值) 的数值。 如果把给定的目标函数看成一座山脉，最优化的过程就是判断顶峰的位置并找到到达顶峰路径的过程。

通常情况下，最优化问题是在无约束情况下求解给定目标函数的最小值;在线性搜索中，确定寻找最小值时的搜索方向需要使用目标函数的一阶导数和二阶导数;置信域算法的思想是先确定搜索步长，再确定搜索方向;以人工神经网络为代表的启发式算法是另外一类重要的优化方法。

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